統計解説書シリーズC-０６
心理学的測定法序説 対数モデルと強度関数
A5判２９５ページ・ソフトカバー
目次
はじめに
第１章 心理測定の基本的な考え方・概要
1.1 基本的な考え方（対数モデルと不変尺度）…………………………… 1
1.1.1 比例尺度と不変尺度………………………………………………… 1
1.1.2 正規分布モデルと対数モデルとの比較…………………………… 4
1.1.3 比較判断における対数モデルと正規分布モデル………………… 7
1.1.4 対数モデルから導くことのできるモデル（概要）……………… 8
1.2 測定値の表現形式・回答形式（第３章の概要）………………………11
1.3 目的変数と説明変数………………………………………………………15
1.3.1 心理学的測定法と要因分析法………………………………………15
1.3.2 要因効果が反映される従属変数……………………………………16
1.4 離散型測定値の意味と最尤法……………………………………………19
1.4.1 離散型測定値における強度成分とランダム成分…………………19
1.4.2 最小２乗法と最尤法…………………………………………………20
1.5 ２項分布の場合の最尤推定計算…………………………………………23
1.5.1 ニュートン・ラフソン法……………………………………………23
1.5.2 ウェイト付き最小２乗法の反復……………………………………27
1.5.3 ポアソン分布の場合の尤度関数・最適値計算について…………31
1.6 本書に出てくる主な分布…………………………………………………33
1.6.1 強度関数・強度分布の概念…………………………………………33
1.6.2 ポアソン分布…………………………………………………………35
1.6.3 ２項分布………………………………………………………………40
1.6.4 ロジスティック分布と正規分布……………………………………43
1.6.5 指数分布と逆のポアソン過程………………………………………49
（１）指数分布関数の確率過程と強度分布 ……………………………49
（２）指数分布関数と最大値分布 ………………………………………52
1.6.6 加重ロジットの最大値分布（相互比較の最大値分布）…………54
1.6.7 ワイブル分布…………………………………………………………56
1.6.8 ガンベル分布…………………………………………………………59
第２章 変換モデル（強度関数） 判断状況のモデル・連結関数
2.1 変換モデルと要因分析モデル……………………………………………61
2.1.1 変換モデルと心理学的測定法………………………………………61
2.1.2 対数モデル（基本尺度モデル）と変換モデルの種類……………63
2.2 対数モデル…………………………………………………………………66
2.2.1 対数モデルと適用されるデータ……………………………………66
2.2.2 測定値のランダム成分（誤差）と強度……………………………68
2.2.3 ピアソンのカイ統計量と対数モデル………………………………71
2.2.4 物理量の対数変換と心理尺度………………………………………74
2.2.5 対数線形モデルと対数モデルの要因分析について………………78
2.3 ロジットモデル（比較判断のモデル）…………………………………80
2.3.1 ロジットと比較判断…………………………………………………80
2.3.2 ロジスティック関数（強度関数）・ロジスティック分布………83
2.3.3 ロジットの逆変換……………………………………………………84
2.3.4 ロジットとデシベル表現（対数モデル）…………………………85
2.4 指数分布関数モデル（補対数モデル）…………………………………86
2.4.1 指数分布関数モデルと対数モデル…………………………………86
（１）変換関数としての指数分布関数 …………………………………86
（２）指数分布関数モデルの離散的確率過程 …………………………89
（３）最大値選択と成長曲線 ……………………………………………92
2.4.2 ガンベル分布関数モデル・ワイブル分布関数モデル……………94
（１）ガンベル分布関数・ワイブル分布関数・指数分布関数 ………94
（２）ベキ指数から生じる理論的な問題点 ……………………………98
（３）比例尺度（説明変数）上の等間隔についての問題 ……………99
（４）２重に対数変換と複数の独立変数 …………………………… 101
2.5 加重ロジットモデル（相互比較をする最大値選択）……………… 103
「１対多」のロジットモデル
2.5.1 不特定多数からの最大値選択と相互比較による最大値選択 …103
2.5.2 加重ロジットモデル（｢１対多｣のロジット）………………… 104
2.5.3 加重ロジットモデルにおける刺激得点の計算法……………… 109
2.6 逆変換…………………………………………………………………… 110
不変尺度得点から比例尺度得点への変換
2.6.1 強度関数による変換と正規分布による比率変換……………… 110
2.6.2 対数モデルと多項ロジット……………………………………… 111
2.6.3 ３種類のマインドシェア予測法（逆変換の利用法）………… 113
2.6.4 比例尺度上の指標値と不変尺度上の指標値…………………… 118
尤度と対数尤度・ピアソン残差と回帰残差・オッズと対数オッズなど
第３章 回答形式（反応の表現形式）
数量判断・２値順序（０１形式）・多段階順序・順序付け
3.1 心理学的測定法における具体的な測定法（回答形式）…………… 121
3.2 数値判断（強度の直接測定）………………………………………… 126
3.2.1 心理学的測定法における数量判断の意味……………………… 126
3.2.2 数量分割カテゴリー(数量尺度を分割したカテゴリー判断）…130
3.2.3 数量分割カテゴリーと不変尺度変換…………………………… 132
3.2.4 評定尺度法（不変尺度の直接測定）…………………………… 133
（１）心理的な不変尺度とは（弁別閾を単位とする尺度） ……… 133
（２）評定尺度の等間隔とロジット尺度の等間隔 ………………… 134
（３）評定尺度の例 …………………………………………………… 136
（４）評定尺度を用いるときの注意点 ……………………………… 141
3.2.5 倍数判断・比率の数量判断（持ち点の配分）………………… 148
3.3 ２カテゴリー判断・大小関係のない複数カテゴリー……………… 151
大小判断・最大値選択・名義尺度、カテゴリー変数など
3.2.1 ２カテゴリー測定値と１カテゴリー測定値…………………… 151
3.3.2 大小関係のない複数カテゴリーと２カテゴリー測定値……… 152
3.3.3 ２値測定値と変換モデル………………………………………… 155
3.4 順序測定値（多段階の順序・刺激の順序付け）…………………… 158
3.4.1 多段階順序尺度と刺激の順序付け……………………………… 158
3.4.2 一様分布と強度関数（変換モデル）…………………………… 159
3.4.3 累積比率と分位点………………………………………………… 162
3.4.4 順序情報のみを用いた分析法（順序統計量）について……… 165
3.4.5 分位点関数（強度関数）………………………………………… 167
（１）ロジットモデル ………………………………………………… 167
（２）指数分布関数モデル …………………………………………… 169
（３）加重ロジットモデル …………………………………………… 170
（４）対数モデル（ポアソン強度関数モデル） …………………… 171
（５）不変尺度モデル（順位をそのまま分析） …………………… 172
3.4.6 カテゴリーウェイトの比較……………………………………… 173
第４章 心理学的測定法 心理物理関数・倍数判断・比較判断・最大値選択
4.1 心理学的測定法における目的変数と説明変数……………………… 175
4.2 フェヒナーの対数モデル……………………………………………… 178
4.2.1 フェヒナーの対数モデルにおける目的変数と説明変数……… 178
4.2.2 フェヒナーの対数モデルを実験的に検証する方法…………… 180
（１）弁別閾を連鎖させる方法 ……………………………………… 180
（２）一対比較を用いた尺度構成の方法 …………………………… 182
（３）微分係数を測定する方法（評定法を用いる方法） ………… 184
4.3 スティーブンスのベキ関数について………………………………… 187
4.3.1 スティーブンスのベキ関数モデルの意味……………………… 187
4.3.2 ベキ指数の意味…………………………………………………… 189
4.3.3 倍数評価法について……………………………………………… 191
4.3.4 フェヒナー尺度とスティーブンス尺度との関係……………… 191
4.4 一対比較法……………………………………………………………… 193
4.4.1 一対比較における説明変数と目的変数………………………… 193
4.4.2 一対比較法の説明変数…………………………………………… 196
（１）刺激を表す変数（主効果） …………………………………… 196
（２）順序効果・組合せ効果（交互作用）・個人差効果など …… 198
（３）刺激が２要因によって構成される場合 ……………………… 202
4.4.3 一対比較法の目的変数（一対比較法の種類）………………… 204
4.4.4 ロジットモデルの一対比較法…………………………………… 208
ブラッドレイ・テリー法、恒常和判断の一対比較法
（１）ロジットモデルの一対比較法の種類 ………………………… 208
（２）ロジット変換後の平均値計算による尺度値推定 …………… 211
（３）説明変数と分析方法 …………………………………………… 213
（４）最小２乗推定値と最尤推定値との比較 ……………………… 215
（５）尺度値の応用例（マインドシェア） ………………………… 218
4.4.5 指数分布関数モデルの一対比較法……………………………… 220
4.4.6 不変尺度モデルの一対比較法…………………………………… 224
シェッフェ法（０点固定）、評定法、０１データをそそまま分析する方法
（１）回答形式と測定値（目的変数）の特徴 ……………………… 224
（２）平均値計算による尺度値推定 ………………………………… 226
（３）シェッフェ法の特徴と分散分析 ……………………………… 228
（４）重回帰分析による計算法と分散分析 ………………………… 233
（５）恒常誤差とランダム順の提示について ……………………… 235
4.4.7 倍数判断の一対比較法…………………………………………… 235
（１）基本的な考え方 ………………………………………………… 238
（２）平均値計算法と重回帰分析による計算法 …………………… 240
4.5 心理測定関数・恒常法（ロジットモデル）………………………… 242
4.5.1 心理測定関数と強度関数………………………………………… 242
4.5.2 閾値の測定（２カテゴリー判断の場合）……………………… 246
4.5.3 ３カテゴリー判断の場合の累積比率…………………………… 248
4.5.4 ４カテゴリーの場合の累積比率（価格の閾値測定）………… 251
4.6 複数刺激からの選択（最大値選択）………………………………… 254
4.6.1 ２種類の最大値選択モデル……………………………………… 254
4.6.2 ガンベル分布関数について……………………………………… 257
4.6.3 複数刺激の恒常和法と加重ロジットモデル…………………… 258
4.6.4 計算法について…………………………………………………… 259
4.7 最大値選択のシミュレーションとマインドシェアの測定………… 261
4.7.1 マインドシェアとは……………………………………………… 261
4.7.2 刺激得点からマインドシェアを求める方法…………………… 262
4.7.3 多項ロジットモデルによるシェアの計算例…………………… 263
4.7.4 個人別選択行動のシミュレーション…………………………… 266
4.7.5 価格とシェア（シミュレーションの事例）…………………… 271
参考文献 ………………………………………………………………………… 273
特殊な用語・基本的な用語 …………………………………………………… 274
索引 ……………………………………………………………………………… 289
本書の特徴
①本書では、「測定値の比例尺度」と「数的強度としての不変尺度」を区別している。
②心理学的測定法を、「目的変数と説明変数との因果関係」として、表現している。
③尺度変換モデル（比例尺度と不変尺度との関係）として、対数モデルのみを想定し、他は演繹的に定義。
④正規分布の仮定は用いていない。
⑤測定値のランダム成分は、観察されるポアソン分布、２項分布、多項分布などを想定している。
⑥測定値の強度成分（測定値の強度パラメータ）は、マイナスのない比例尺度になる。
⑦尺度値は、「数学的な実数」と区別するために「不変尺度」の概念を用いている。
⑧「間隔尺度」は、比例尺度（倍数演算）と不変尺度（線形演算）を混同させるために用いていない。
⑨本書では、変換モデル（比例尺度→不変尺度）として、対数モデル、ロジットモデル、指数分布関数モデル（補対数モデル）、加重ロジットモデル、不変尺度モデルを想定している（対数モデルからの演繹）。
⑩心理学的測定法は、②番により、分散分析の要因分析、重回帰分析、ロジスティック回帰分析、などと同じ構造になり、多変量解析の特徴をそのまま心理学的測定法に適用できる。
⑪順序測定値は、尺度の強度間隔の情報を除くという性質を持つので、どのような強度関数（変換モデル）であっても基本的に同じ測定結果になる（一様分布的な傾向）。したがって、判断の状況が、比較、倍数、嗜好や価値の選択など、明確に規定できる場合には、異なった変換モデル（強度関数）を適用して数量的な分析を行うと、予測が正確になる。
⑫順序律に従った分析（順位相関など）は、応用的には、有効に利用できないことが多い。
⑬本書では、各変換モデルに対して、「数量評価」、「大小関係の判断」、「順序評価」などの「回答形式」の違いを区別している。この回答形式は、表現形式の違いなので、本質的には、「変換モデル×回答形式」の組合せの数だけ測定法が定義されることになる。今までの心理学的測定法は、この組合せに対して名付けられていることが多い。
⑭心理学的測定法が、正規分布理論から新しい段階に入ることを意味している。統計的仮説検定などについても同じことが言えると考えられる。
⑮対数尤度などの最適値計算について、対数尤度のニュートン・ラフソン法、ポアソン分布のカイ統計量近似、フィッシャーのスコア法の２項分布標準化近似、などは対数モデルの近似、あるいは、特定の条件が加味された場合と考えることができる。ＡＩＣは不変尺度上で定義された概念であると考えられる。